The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0), s(0)))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0, X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0, cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0) → 0
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Rewrite Strategy: FULL

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__fib, a__sel, mark, a__fib1, a__add

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__sel, a__fib, mark, a__fib1, a__add

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(7) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__sel.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__fib, a__fib1, a__add

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Induction Base:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n28_0, 1))) →_R^Ω(1)
s(mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0))) →_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(c29_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__fib, a__sel, a__fib1, a__add

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__fib.

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__fib1, a__sel, a__add

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__fib1.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__add, a__sel

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(16) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

Induction Base:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) →_R^Ω(1)
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) →_L^{Ω(1 + b)}
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)

Induction Step:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, 1)), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) →_R^Ω(1)
s(a__add(mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0)), mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)))) →_L^{Ω(1 + n4815₀)}
s(a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)))) →_L^{Ω(1 + b)}
s(a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b))) →_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(b, c4816_0)))

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(17) Complex Obligation (BEST)

(18) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__sel, a__fib, mark, a__fib1

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(19) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__sel.

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__fib, a__fib1

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(21) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0), rt ∈ Ω(1 + n5880₀)

Induction Base:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n5880_0, 1))) →_R^Ω(1)
s(mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0))) →_IH
s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(c5881_0))

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(22) Complex Obligation (BEST)

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0), rt ∈ Ω(1 + n5880₀)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__fib, a__fib1

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__fib.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0), rt ∈ Ω(1 + n5880₀)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__fib1

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__fib = a__sel
a__fib = mark
a__fib = a__fib1
a__fib = a__add
a__sel = mark
a__sel = a__fib1
a__sel = a__add
mark = a__fib1
mark = a__add
a__fib1 = a__add

(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__fib1.

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0), rt ∈ Ω(1 + n5880₀)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

(29) BOUNDS(n^2, INF)

(30) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n5880_0), rt ∈ Ω(1 + n5880₀)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

(32) BOUNDS(n^2, INF)

(33) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(34) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
a__add(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n4815_0), gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(b)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(n4815_0, b)), rt ∈ Ω(1 + b + b·n4815₀ + n4815₀ + n4815₀²)

(35) BOUNDS(n^2, INF)

(36) Obligation:

TRS:
Rules:
a__fib(N) → a__sel(mark(N), a__fib1(s(0'), s(0')))
a__fib1(X, Y) → cons(mark(X), fib1(Y, add(X, Y)))
a__add(0', X) → mark(X)
a__add(s(X), Y) → s(a__add(mark(X), mark(Y)))
a__sel(0', cons(X, XS)) → mark(X)
a__sel(s(N), cons(X, XS)) → a__sel(mark(N), mark(XS))
mark(fib(X)) → a__fib(mark(X))
mark(sel(X1, X2)) → a__sel(mark(X1), mark(X2))
mark(fib1(X1, X2)) → a__fib1(mark(X1), mark(X2))
mark(add(X1, X2)) → a__add(mark(X1), mark(X2))
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
a__fib(X) → fib(X)
a__sel(X1, X2) → sel(X1, X2)
a__fib1(X1, X2) → fib1(X1, X2)
a__add(X1, X2) → add(X1, X2)

Types:
a__fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
mark :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
s :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
0' :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
cons :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib1 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
a__add :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
fib :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
sel :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
hole_0':s:add:fib1:cons:fib:sel1_0 :: 0':s:add:fib1:cons:fib:sel
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0 :: Nat → 0':s:add:fib1:cons:fib:sel

Lemmas:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Generator Equations:
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(37) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0)) → gen_0':s:add:fib1:cons:fib:sel2_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

(38) BOUNDS(n^1, INF)